On the notion of “ground state” for the nonlinear Schrödinger equation on metric graphs

Dans un premier temps, nous présenterons l’équation de Schrödinger non-linéaire (NLS) sur des graphes métriques et sa formulation variationnelle.
Nous présenterons la notion de "ground state", issue du calcul des variations.
Un "ground state" est une solution obtenue comme minimiseur global de la fonctionnelle d’action restreinte à la variété de Nehari, qui offre une contrainte naturelle pour le problème.

Dans un second temps, nous verrons que pour des graphes non-compacts, il faut être prudent en utilisant la terminologie "ground state". En effet, des minimiseurs sous contraintes de la fonctionnelle d’action n’existent pas nécessairement, à cause de la non-compacité.
Il convient de distinguer la notion de "ground state" de celle de solution d’action minimale, solution minimisant la fonctionnelle parmi l’ensemble des solutions de l’équation.
Quatre scénarios sont a priori possibles : les ground states existent (et coïncident avec les solutions d’action minimale) ; les ground states n’existent pas mais les solutions d’action minimale si ; ni les ground states ni les solutions d’actions minimales n’existent mais les niveaux des deux problèmes de minimisation associés sont égaux ; ni les ground states ni les solutions d’actions minimales n’existent et les niveaux des deux problèmes de minimisation sont différents.
Nous montrerons que ces quatre alternatives sont possibles dans le contexte des graphes métriques, en étudiant des problèmes variationnels doublement contraints.
Nous mettrons en évidence les avantages du cadre des graphes métriques par rapport aux cadres plus classiques comme celui des ouverts non-bornés de R^N en dimension N >= 2 pour lesquels il n’est pas connu à l’heure actuelle si les quatre scénarios cités précédemment ont lieu ou non.

Il s’agit d’un travail en collaboration avec Colette De Coster (UPHF),
Simone Dovetta (Politecnico di Torino) et Enrico Serra (Politecnico di Torino).