Une preuve assistée par ordinateur pour les symétries des solutions nodales d'énergie minimale de Lane-Emden sur le carré

Dans cet exposé, nous nous intéresserons aux solutions d'énergie minimale parmi celles qui changent de signe pour le problème de Lane-Emden -∆u=|u|^(p-2)u dans Ω, u=0 sur ∂Ω, avec Ω est un ouvert borné de R^N et p ∈ ]2, 2[ où 2 est l'exposant critique de Sobolev. La question centrale sera de déterminer le sous-groupe des symétries du domaine qui laisse invariant ces solutions (par une symétrie paire ou impaire). Nous verrons que, même pour des domaines très simples, cette question est délicate. Pour le carré, nous expliquerons comment une preuve assistée par ordinateur permet de résoudre la question pour p proche de 2.